第一四分位数の正しい求め方｜偶数奇数の計算手順とエクセルの違い

ビジネスの現場でのデータ分析から高校数学の試験対策まで、データの散らばり具合を把握する基礎として欠かせないのが「第一四分位数」です。しかし、実際に手計算をしたりエクセル関数を使ったりした際、「データ数が奇数と偶数でどう分けるのか迷う」「エクセルの計算結果が手計算と一致しない」という疑問に直面する方は少なくありません。

四分位数は単一の公式だけで完結するものではなく、目的や使用ツールによって定義や算出ロジックが微妙に分かれています。本稿では、第一四分位数の基礎知識からデータ数別の確実な手計算手順、エクセル関数における「INC」と「EXC」の決定的な違い、箱ひげ図や四分位範囲の計算までを徹底解説します。

📌 【この記事の重要ポイントまとめ】

• 要点1：第一四分位数（記号：$Q_1$）はデータを昇順に並べた際の下位25%に位置する値であり、第二四分位数（中央値）と下位グループの中央値を用いて求める。
• 要点2：高校数学では「データを中央値で2分割し、下位グループの中央値を$Q_1$とする」手法を採るが、データ数が奇数の場合は中央値そのものを除外して分割する。
• 要点3：エクセル関数で値がズレるのは「QUARTILE.INC（包含）」と「QUARTILE.EXC（排他）」の補間アルゴリズムの違いが原因であり、計算ミスではない。

【基本概念】第一四分位数とは？記号の意味と統計学における位置づけ

統計学において、集めたデータを小さい順（昇順）に並べたとき、全体をデータ数基準で4等分する3つの境界値を「四分位数（Quartile）」と呼びます。その中で、最も小さいグループと2番目のグループを分ける境界値が第一四分位数（英語記号：$Q_1$ または Q1）です。

パーセンタイルの概念で表すと、第一四分位数は25パーセンタイル（第25百分位数）に正確に一致します。つまり、全体の約25%のデータがこの$Q_1$以下の数値に収まることを示しています。

四分位数全体の構造を整理すると、以下の3つの指標で成り立っています。

• 第一四分位数（$Q_1$）：下から数えて25%（1/4）の位置にある値。下位データ群の中央値。
• 第二四分位数（$Q_2$）：下から数えて50%（2/4）の位置にある値。データ全体の「中央値（メディアン）」そのもの。
• 第三四分位数（$Q_3$）：下から数えて75%（3/4）の位置にある値。上位データ群の中央値。

平均値は極端に大きい数値や小さい数値（外れ値）に強く引っ張られる弱点がありますが、四分位数や中央値は順位に基づく指標であるため、外れ値の影響を受けにくいロバスト（堅牢）な要約統計量として重宝されます。

【高校数学の手順】データ数が偶数・奇数の場合の第一四分位数の求め方

文部科学省の高等学校学習指導要領（数学I「データの分析」）で採用されている第一四分位数の求め方は、直感的で分かりやすい「ヒンジ法（テューキーの方式に類似した分割法）」です。計算の成否を分けるのは、「データ数（$n$）が奇数か偶数か」によって中央値の扱いを変える点にあります。

パターン1：データ数が奇数の場合（中央値を除外して分割）

データ数が奇数の場合、データ全体の中央値（$Q_2$）は「ど真ん中に実在する1つのデータ」になります。高校数学のルールでは、この中央値を取り除き、残った下半分のデータ群から改めて中央値を計算します。

【具体例：7個のデータ［2, 4, 5, 7, 8, 10, 12］の場合】

1. 昇順に並べます：2, 4, 5, 7, 8, 10, 12
2. 全体の中央値（$Q_2$）を特定します：4番目の値である「7」
3. 中央値「7」を除外した下位グループを取り出します：［2, 4, 5］
4. 下位グループの中央値を求めます：真ん中の値である「4」

したがって、このデータの第一四分位数（$Q_1$）は「4」、第三四分位数（$Q_3$）は上位グループ［8, 10, 12］の中央値である「10」となります。

パターン2：データ数が偶数の場合（中央値でまっぷたつに2分割）

データ数が偶数の場合、全体の中央値（$Q_2$）は「中央に位置する2つの数値の算術平均」になります。このときはデータが過不足なく前後同数に分かれるため、中央の境界線でそのまま下位グループと上位グループに分割します。

【具体例：8個のデータ［2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14］の場合】

1. 昇順に並べます：2, 4, 5, 7 ｜ 8, 10, 12, 14
2. 全体の中央値（$Q_2$）は、4番目「7」と5番目「8」の平均：$(7 + 8) / 2 = 7.5$
3. 下位グループ［2, 4, 5, 7］を取り出します（データ数は偶数の4個）。
4. 下位グループの中央値を計算します：中央2値「4」と「5」の平均：$(4 + 5) / 2 = \mathbf{4.5}$

この場合の第一四分位数（$Q_1$）は「4.5」、第三四分位数（$Q_3$）は［8, 10, 12, 14］の中央2値の平均である「11」となります。

【比較表で一目瞭然】高校数学・Excel・統計ツールの四分位数算出法

四分位数には、歴史的な経緯や補間方式の違いにより、学術的・実務的に複数の定義が存在します。代表的な算出方式の違いを整理したのが下表です。

【実態検証】エクセルのQUARTILE.INCとQUARTILE.EXCの違いと現場の落とし穴

実務の現場で最も問い合わせが多いのが、「エクセルで第一四分波数を求めようとしたら、関数が2つあってどちらを使うべきか分からない」「手計算した答えとエクセルの出力が違う」という問題です。

エクセルには現在、主に2つの四分位数算出関数が用意されています。

• =QUARTILE.INC(配列, 1) （または従来の =QUARTILE(配列, 1)）
• =QUARTILE.EXC(配列, 1)

「INC」はInclusive（包含）の略で、データの最小値（0%）から最大値（100%）までの区間を連続的な直線とみなし、25%の位置にある数値を線形補間（比例配分）して算出します。

対する「EXC」はExclusive（排他）の略で、標本データの最小値・最大値は母集団全体の極値ではないという前提に立ち、データの外側に仮想的な区間（$1/(n+1)$）を設けて計算します。

たとえば、［10, 20, 30, 40, 50］という5つのデータがある場合：

• 高校数学の手計算：中央値「30」を除いた下位群［10, 20］の中央値＝15
• QUARTILE.INCの出力：$10 + (50 - 10) \times 0.25 = \mathbf{20}$
• QUARTILE.EXCの出力：位置が $0.25 \times (5+1) = 1.5$ 番目となり、1番目と2番目の中間＝15

このように、同じデータ群であっても選択する定義によって異なる数値が算出されます。これは計算エラーではなく「数学的な補間定義の違い」です。ビジネス実務で社内共有する場合は、特別な統計的指定がない限り標準的な「QUARTILE.INC」で統一するのが通例です。

【可視化と散らばり】箱ひげ図の見方と四分位範囲・四分位偏差の計算公式

第一四分位数の真価が発揮されるのが、データの分布状況を直感的に把握するグラフ「箱ひげ図（Box plot）」の作成と、バラつき度合いを測る「四分位範囲（IQR）」の算出です。

箱ひげ図において、中央に描かれる長方形の「箱」はデータの中央50%が集まるゾーンを表しています。この箱の左端（縦向きの場合は下端）の境界線が「第一四分位数（$Q_1$）」であり、右端（上端）が「第三四分位数（$Q_3$）」、箱内部の仕切り線が「中央値（$Q_2$）」を示します。

四分位範囲（IQR）の計算公式

データの散らばり具合を数値化する際、最大値から最小値を引く「全範囲（レンジ）」では極端な異常値に惑わされやすくなります。そこで用いられるのが四分位範囲です。

四分位範囲（IQR：Interquartile Range） ＝ 第三四分位数（$Q_3$） − 第一四分位数（$Q_1$）

この四分位範囲は、データ全体の真ん中50%がどのくらいの幅に密集しているかを示します。IQRの値が小さいほど「データの中心部が密集している」ことを意味します。

四分位偏差の計算公式

高校数学や基礎統計では、四分位範囲を2で割った「四分位偏差」も頻出します。

四分位偏差 ＝ $\frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{\text{IQR}}{2}$

四分位偏差は「中央値から上下の四分位数までの平均的な距離」を表し、標準偏差と同じようにデータの散らばり幅を評価する尺度として活用されます。

外れ値の判定基準（フェンス法）

データ分析の実務では、第一四分位数とIQRを用いて客観的な外れ値判定を行います。以下の基準線を下回るデータは「下側の外れ値（異常値）」として識別されます。

下側外れ値の境界点 ＝ $Q_1 - 1.5 \times \text{IQR}$

この閾値設定は多くのBIツールや統計パッケージで標準採用されており、ノイズデータのスクリーニングに不可欠な基準です。

一般に知られていない盲点とネットの誤解

ネット上のQ&AサイトやSNSで頻繁に見受けられるのが、「手計算の答えとツールの数値が違うので、どちらかが間違っている」という思い込みです。

前述の通り、四分位数には国際統計学会や学術機関（Hyndman & Fanの論文など）で体系化されただけでも9種類以上の定義が存在します。手元の電卓で出した値と、エクセルやR言語、Pythonの出力が1〜2ポイントズレていたとしても、それはアルゴリズムの選定基準が異なるだけで、双方とも数学的に正当です。

【プロの結論】目的別・最適な算出方式の選び方と実務での判断基準

現場で混乱を避け、最も信頼性の高い分析結果を導くための判断基準は以下の通りです。

• 高校数学・大学受験・定期テスト：文部科学省準拠の「ヒンジ法（中央値を除外して分割）」を厳格に適用してください。エクセル等の補間計算を使うと不正解になります。
• 一般的な社内データ集計・報告書：エクセルのQUARTILE.INC関数を使用します。日本国内のビジネス実務で最も普及しており、共有時の再現性が極めて高いためです。
• 学術論文・品質管理・厳密な標本調査：標本サイズが小さい場合はQUARTILE.EXC、あるいはPythonのnumpy.percentileで採用方式（methodパラメータ）を明記した上で算出します。

【第一四分位数】に関するよくある質問（FAQ）

Q1：第一四分位数と「25パーセンタイル」は完全に同じ意味ですか？
A1：数学的・統計学的な位置づけとしては全く同じ「下位から25%に当たる点」を指します。ただし、パーセンタイルを連続値として補間計算するか、離散的な分割法で求めるかによって、ツールの算出結果に端数が出る場合があります。

Q2：データ数が極端に少ない（例：3個や4個）場合、第一四分波数は求められますか？
A2：高校数学の手計算やQUARTILE.INCであればデータ数3個以上から算出可能です。たとえば［10, 20, 30］の場合、高校数学では下位群が［10］となりQ1は「10」になります。一方、QUARTILE.EXCは外側に余白を要する数理モデルのため、データ数が3個以下だと「#NUM!」エラーを返します。

Q3：第一四分波数が実際のデータ群に存在しない小数になるのはなぜですか？
A3：データ数が偶数の場合や、エクセルの線形補間関数を用いた場合、境界に位置する2つの数値の平均値（比例配分値）を計算するためです。たとえばデータが［1, 3, 5, 7］の場合、下位グループ［1, 3］の中央値は $(1+3)/2 = 2$ となり、元のデータセットに「2」が存在しなくても$Q_1 = 2$となります。

まとめ：第一四分位数の本質を理解してデータ分析の精度を高める

第一四分位数（$Q_1$）は、平均値だけでは見えてこない「データの偏り」や「下位層の広がり」を浮き彫りにする極めて重要な指標です。

偶数・奇数に応じた分割ルールを押さえておけば手計算で迷うことはなく、エクセル関数ごとのロジックを把握していればツール間の差異に困惑することもありません。箱ひげ図や四分位範囲（IQR）と組み合わせ、より多角的で精度の高いデータハンドリングを実践していきましょう。 （出典: 第 一 四 分 位 数（Yahoo!ニュース））